matematyka123 - Tożsamości trygonometryczne

Tożsamości trygonometryczne

Tożsamości trygonometryczne

$sin 2 α + cos 2 α = 1$

$tgalpha = frac{sinalpha}{cosalpha}$

$ctgalpha = frac{cosalpha}{sinalpha}$

$tgalpha cdot ctgalpha = 1$

Dowód prawdziwości $sin 2 α + cos 2 α = 1$ :

$sin^2alpha + cos^2alpha = left ( frac{a}{c} right )^2 + left ( frac{b}{c}right )^2 = frac{a^2}{c^2} + frac{b^2}{c^2} = frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1$

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa możemy stwierdzić, że $frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1$ ponieważ

$a^2 + b^2 = c^2 Big/ cdot frac{1}{c^2}$

$frac{a^2 + b^2}{c^2} = frac{c^2}{c^2}$

$frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1$

Dowód prawdziwości $tgalpha = frac{sinalpha}{cosalpha}$

$tgalpha = frac{sinalpha}{cosalpha} = frac{ frac{a}{c} }{ frac{b}{c} } = frac{a}{c} cdot frac{c}{b} = frac{a}{b}$

Dowód prawdziwości $ctgalpha = frac{cosalpha}{sinalpha}$

$ctgalpha = frac{cosalpha}{sinalpha} = frac{ frac{b}{c} }{ frac{a}{c} } = frac{b}{c} cdot frac{c}{a} = frac{b}{a}$

Dowód prawdziwości $tgalpha cdot ctgalpha = 1$

$tgalpha cdot ctgalpha = frac{a}{b} cdot frac{b}{a} = 1$

Funkcje sumy i różnicy kątów

$sin ( alpha + beta ) = sinalphacdotcosbeta + cosalphacdotsinbeta$

$sin ( alpha - beta ) = sinalphacdotcosbeta - cosalphacdotsinbeta$

$cos ( alpha + beta ) = cosalphacdotcosbeta - sinalphacdotsinbeta$

$cos ( alpha - beta ) = cosalphacdotcosbeta + sinalphacdotsinbeta$

$tg (alpha + beta) = frac{ tgalpha + tgbeta }{ 1-tgalpha cdot tgbeta }$ ,     jeżeli     $cosalpha neq ; 0 land cosbeta neq ; 0 land cos (alpha + beta)$

$tg (alpha - beta) = frac{ tgalpha - tgbeta }{ 1+tgalpha cdot tgbeta }$ ,     jeżeli     $cosalpha neq ; 0 land cosbeta neq ; 0 land cos (alpha + beta)$

$ctg (alpha + beta) = frac{ ctgalpha cdot ctgbeta - 1 }{ ctgalpha + ctgbeta }$ ,     jeżeli     $sinalpha neq ; 0 land sinbeta neq ; 0 land sin (alpha + beta)$

$ctg (alpha - beta) = frac{ ctgalpha cdot ctgbeta + 1 }{ ctgbeta - ctgalpha }$ ,     jeżeli     $sinalpha neq ; 0 land sinbeta neq ; 0 land sin (alpha + beta)$

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

Dla dowolnych kątów o miarach $α$ i $β$

$sinalpha + sinbeta = 2sinfrac{alpha+beta}{2}cosfrac{alpha-beta}{2}$

$sinalpha - sinbeta = 2cosfrac{alpha+beta}{2}sinfrac{alpha-beta}{2}$

$cosalpha + cosbeta = 2cosfrac{alpha+beta}{2}cosfrac{alpha-beta}{2}$

$cosalpha - cosbeta = -2sinfrac{alpha+beta}{2}sinfrac{alpha-beta}{2}$

Funkcje kąta podwójnego

$sin2α = 2sinαcosα$

$cos2α = cos 2 α - sin 2 α$

$tg 2alpha = frac{ 2tgalpha }{ 1-tg^2 alpha }$ ,     jeżeli     $cosalpha neq ; 0 land cos 2alpha neq ; 0$

$ctg 2alpha = frac{ ctg^2 alpha - 1 }{ 2ctgalpha }$ ,     jeżeli     $sin 2alpha neq ; 0$

Dzisiaj stronę odwiedziło już 1 odwiedzający (3 wejścia) tutaj!